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年度 2020年度 開講部局 先進理工系科学研究科博士課程前期
講義コード WSA41000 科目区分 専門的教育科目
授業科目名 数理解析基礎講義A
授業科目名
(フリガナ)
スウリカイセキキソコウギエー
英文授業科目名 Mathematical Analysis A
担当教員名 滝本 和広,平田 賢太郎,神本 晋吾,川下 美潮
担当教員名
(フリガナ)
タキモト カズヒロ,ヒラタ ケンタロウ,カミモト シンゴ,カワシタ ミシオ
開講キャンパス 東広島 開設期 1年次生   前期   1ターム
曜日・時限・講義室 (1T) 月5-6,火3-4:理B603
授業の方法 講義 授業の方法
【詳細情報】
講義中心,板書多用 
単位 2.0 週時間   使用言語 B : 日本語・英語
学習の段階 5 : 大学院基礎的レベル
学問分野(分野) 25 : 理工学
学問分野(分科) 01 : 数学・統計学
対象学生 博士課程前期 1年次生
授業のキーワード Banach空間,Hilbert空間,L^p空間,有界線形作用素,一様有界性原理,線形汎関数,コンパクト作用素 
教職専門科目   教科専門科目  
プログラムの中での
この授業科目の位置づけ
 
到達度評価
の評価項目
 
授業の目標・概要等 関数解析学と呼ばれる分野の基礎的事項を解説します。関数解析学は現代の解析学の基礎をなすものであり,微分方程式の解析などに応用されています。
この授業では,Banach空間,Hilbert空間,線形作用素などについての基礎理論を学習し,具体例を通じて理解を深めていきます。 
授業計画 第1回 ノルム空間と完備性
第2回 さまざまな関数空間(その1:C(I),B^m(I),C_0(R^n)など)
第3回 さまざまな関数空間(その2:ルベーグ空間L^p(R^n)など)
第4回 Banach空間とその性質(その1:積空間と商空間・完備化)
第5回 Banach空間とその性質(その2:有限次元ノルム空間はBanach空間)
第6回 Hilbert空間とその性質(その1:Schwarzの不等式・直交補空間)
第7回 Hilbert空間とその性質(その2:完全正規直交系・Schmidtの直交化)
第8回 有界線形作用素
第9回 一様有界性原理
第10回 開写像定理
第11回 線形汎関数と共役空間
第12回 Hahn-Banachの定理
第13回 弱収束と汎弱収束(その1:定義と例)
第14回 弱収束と汎弱収束(その2:反射的Banach空間における閉単位球の弱点列コンパクト性)
第15回 コンパクト作用素

なお,状況により授業の進度・順序・内容を変更することがあります。

最終回(第16回)に期末試験を行います。 
教科書・参考書等 参考書:
[1] 黒田成俊「関数解析」共立数学講座15,共立出版
[2] 増田久弥「関数解析」裳華房
[3] 藤田宏・黒田成俊・伊藤清三「関数解析」岩波基礎数学選書,岩波書店
[4] 宮寺功「関数解析」理工学社

授業は主に[1],[2]に沿って行いますが,省略する内容や追加する内容もあります。 
授業で使用する
メディア・機器等
必要に応じて資料を配付します。 
予習・復習への
アドバイス
授業内容の復習を毎回しましょう。

第1回 線形代数と距離空間に関する用語が満載ですのでしっかり復習を。
第2回 ある性質を満たす関数全体の集合を考えます。講義前に関数列の一様収束の定義と性質の確認を。
第3回 L^p空間が登場します。慣れるまでが大変ですが,講義の復習や演習問題等を通じて慣れていきましょう。
第4回 一般のBanach空間の性質を扱いますので抽象的な話になります。まずは定理や命題の意味を値解することを目標に。
第5回 有限次元と無限次元の違いが垣間見えます。しっかり復習を。
第6回 Hilbert空間は内積が定義されたBanach空間です。イメージを浮かべながら理解に努めましょう。
第7回 直交補空間とは? 直交射影とは? 完全正規直交系とは?
第8回 この回からBanach空間からBanach空間への線形写像の話になります。最初が肝心ですのでしっかり復習を。
第9回 関数解析における重要な定理の一つです。その強力さを感じ取って下さい。
第10回 第9回に同じ。
第11回 共役空間とは? 具体的なBanach空間の共役空間が何であるかの例は言えるようにしましょう。
第12回 Hahn-Banachの定理を学びます。一見すると分かりにくい定理ですが理解するまで復習を。
第13回 微分方程式への応用という側面では大変重要な概念です。具体例を通じて理解を深めましょう。
第14回 授業をしっかり復習して,定理の意味や有用性を理解しましょう。
第15回 コンパクト作用素とは? レゾルベントとは? スペクトルとは? そして期末試験は体調万全で臨みましょう。 
履修上の注意
受講条件等
1,2年生で学習する解析学・線形代数学,および距離空間に関する内容は理解しているものとします。さらに,解析学A(Lebesgue積分)・解析学B(複素解析学)を受講していることを望みます。 
成績評価の基準等 授業中の平常点(25%程度),レポート課題(25%程度)および期末試験(50%程度)により評価を行う予定です。
ただし,履修者の理解度や状況によっては中間試験を行う場合もあります。その場合は,授業中の平常点20%程度,レポート課題20%程度,中間試験30%程度,期末試験30%程度で評価を行います。 
実務経験  
実務経験の概要と
それに基づく授業内容
 
メッセージ 関数解析学は奥が深く,とても2ヶ月間の講義で全部を解説するのは無理ですが,入口となる部分を解説しますので,しっかり習得して下さい。 
その他   
すべての授業科目において,授業改善アンケートを実施していますので,回答に協力してください。
回答に対しては教員からコメントを入力しており,今後の改善につなげていきます。 
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